Scuola italiana di geometria algebrica
Relativamente alla storia della matematica, la Scuola italiana di geometria algebrica si riferisce al lavoro di più di mezzo secolo (fiorito all'incirca nel periodo 1885-1935) svolto internazionalmente in geometria birazionale, soprattutto sulle superfici algebriche.Vi furono 30 o 40 matematici che svolsero i contributi maggiori; in effetti la metà di loro era italiana. Senza dubbio la guida ricade sul gruppo di Roma di Guido Castelnuovo, Federigo Enriques e Francesco Severi, che sono coinvolti nelle scoperte maggiori e nella definizione dello stile. La moda e l'atteggiamento di fondazione cambiò nella geometria algebrica dal 1950 in poi, portando all'assiomatizzazione e ad un po' di acrimonia riguardante lo stato di alcuni risultati. Per un attimo sembrò che la tradizione della scuola italiana sarebbe andata perduta, nel senso che i vecchi articoli sarebbero divenuti difficili da leggere per la nuova generazione di geometri. L'essenziale era stato in effetti trasmesso, soprattutto da parte degli studenti di Zariski ed alcune aree aperte, come gli spazi di moduli per le curve, sono al centro del lavoro recente legato alla fisica. Molti dei concetti fondamentali della geometria algebrica portano ancor oggi in nomi dati loro dalla scuola italiana.
L'enfasi sulle superfici algebriche, varietà algebriche di dimensione 2, scaturì da una teoria essenzialmente completa sulle curve algebriche (dimensione 1). La situazione attorno al 1870 fu che la teoria delle curve aveva incorporato con la teoria di Brill-Noether il teorema di Riemann-Roch con tutte le sue generalizzazioni (con la geometria del divisore theta).
La classificazione delle superfici algebriche fu un tentativo coraggioso e pieno di successo di ripetere la suddivisione delle curve per il loro genus g. Corrisponde alla classificazione rozza in tre tipi: g = 0 (retta proiettiva), g = 1 (curva ellittica) e g > 1 (superficie di Riemann con dei differenziali olomorfi indipendenti). Nel caso delle superfici la classificazione di Enriques fu in cinque grandi classi, di cui tre erano le analoghe a quelle delle curve, e le altre due (che oggi si chiamerebbero fibrazioni ellittiche e superfici K3) erano il caso di varietà abeliane due dimensionali nel territorio "medio". Questo fu un insieme sano di idee penetranti ripreso nel linguaggio moderno delle varietà complesse da Kunihiko Kodaira negli anni Cinquanta e raffinato per definire i fenomeni mod p da Oscar Zariski, la scuola di Shafarevich e altri attorno al 1960. La forma del teorema di Riemann-Roch su una superficie fu anch'essa elaborata.
La resa qualitativa di ciò che fu dimostrato era necessaria a causa dei problemi di fondazione. Questi includevano un uso intenso di modelli birazionali in dimensione 3 che possono avere modelli non singolari solo se immerse in spazio proiettivi di dimensione superiore. Cioè la teoria non era posta in maniera intrinseca. Per aggirare ciò fu sviluppata una sofisticata teoria per gestire i sistemi lineari di divisori (in effetti una teoria di fibrati lineari per sezioni con iperplani di una candidata immersione nello spazio proiettivo). Furono scoperte molte delle tecniche moderne, nella loro forma embrionale, e in qualche caso la loro articolazione sorpassava il linguaggio tecnico disponibile.
Occupano un ruolo d'onore nella scuola i seguenti italiani: Albanese, Bertini, Campedelli, Castelnuovo, Chisini, Enriques, De Franchis, Del Pezzo, B. Segrè, C. Segrè, Severi, Zappa (con contributi anche da parte di Cremona, Fato, Rosati, Torelli, Veronese). Altrove furono coinvolti H.F. Baker e P. Duval (Regno Unito), A.B. Coble e Osski (Stati Uniti), Emile Picard (Francia), L. Godeaux (Belgio), G. Humbert, Schubert e Max Noether, e più tardi Erich Kähler (Germania), H.G. Zeuthen (Danimarca). Queste figure erano tutte coinvolte nella geometria algebrica, piuttosto che nel perseguimento della geometria proiettiva come geometria sintetica, che durante il periodo in questione era un argomento grande (in termini di volume) ma secondario (se giudicato per la sua importanza come ricerca).
La nuova geometria algebrica, che sarebbe successa alla scuola italiana, era caratterizzata anche per l'uso intensivo della topologia algebrica. Il fondatore di questa tendenza era Henri Poincaré; durante gli anni Trenta fu sviluppata da Lefschetz, Hodge e Todd. La sintesi moderna mise insieme i loro lavori, quelli della scuola di Cartan, di Chow e di Kunihiko Kodaira, con il materiale tradizionale.
